083005-Решение

Разобъём весь объём планеты на тонкие сферические слои толщиной Δr. Легко показать, что равнодействующая всех гравитационных сил, действующих со стороны такого слоя на частицу внутри слоя, равна нулю. Действительно, рассмотрим для этого конус с малым углом при вершине, в которую помещена частица массы m. Конус вырезает из слоя участки площадями S_1 и S_2 (см. рис.). Если масса вещества, приходящегося на единицу поверхности слоя, равна mu, то гравитационные силы, действующие на массу m со стороны участков S_1 и S_2, равны

но

где omega - телесный угол при вершине О конуса. По построению ОМ_1 = ОА_1 и ОМ_2 = ОА_2. Поэтому

Кроме того,

как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Так как

и

то

и, следовательно

Благодаря этому F_1 = F_2, и эти силы взаимно уравновешивают друг друга. Проведя аналогичные рассуждения для других участков слоя, мы и докажем сделанное утверждение.
Сила, с которой притягивается элемент слоя объёма ΔS Δr к центру планеты, равна

где r — расстояние от этого элемента до цетра планеты. Отсюда найдём, что увеличение давления на участке толщиной Δr равно

Поэтому давление на расстоянии r_0 от центра планеты будет равно

Так как сумма

равна площади фигуры ограниченной графиком y = r и осью r на нижнем рисунке, то

Поэтому

Приняв давление p_0 на поверхности планеты равным нулю, получаем

В центре планеты (r_0 = 0) давление равно