Легко сообразить, что путь будет минимальным тогда, когда тело движется по прямой. Действительно, введём прямоугольную систему координат и направим ось x вдоль вектора ускорения a. Тогда проекции вектора скорости тела на координатные оси зависят от времени τ по следующим законам: v_x (τ ) = v_x0 + aτ ; v_y (τ ) = v_y0 ; v_z (τ ) = v_z0.
Здесь v_x0 , v_y0 , v_z0 — проекции скорости тела на соответствующие оси при τ = 0. Если положить v_y0 = v_z0 = 0, то величина скорости тела в каждый момент времени τ будет меньше, чем она была бы при отличных от нуля v_y0 и v_z0. Поэтому будет меньше и пройденный путь. Значит, для решения задачи нужно рассматривать движение тела вдоль прямой, параллельной оси x.
Очевидно также, что начальная скорость v_1 (возможно нулевая) должна быть направлена в сторону, противоположную ускорению (это легко показать, сравнив движение с одинаковой начальной скоростью в одну и в другую стороны). Обозначим за t_1 время движения до остановки и введём для удобства t_2 = t/2 - t_1 Тогда перемещение равно:
Очевидно, что минимум этого выражения достигается при t_2 = 0 или t/2 = t_1, то есть когда половину времени тело движется против направления ускорения, а вторую половину по направлению. Перемещение при этом равно s = a t^2 / 4, а начальная скорость: v_1 = a t / 2