Физобраз | Общее физическое образование

В кубах разного размера изменение температуры со временем будет происходить подобным образом, но с различной скоростью. Пусть a — длина ребра куба, а x < a — расстояние от поверхности термостата. Тогда функция, описывающая зависимость температуры T от координаты x и времени t в малом и большом кубах, будет одинакова, если в качестве её аргументов взять отношения x=a и t= , где  — некоторое характерное время прогревания данного куба. Очевидно, что это характерное время обратно пропорционально скорости нарастания температуры в соответствующих точках кубов.
Разобьём малый и большой кубы на одинаковое количество маленьких кубиков. При этом если длина ребра у маленького кубика, на которые разбит малый куб, равна Δx, то у кубика в большом кубе длина ребра будет равна 2Δx. Рассмотрим процесс нагревания маленьких кубиков, занимающих подобные положения внутри малого и большого кубов, то есть находящихся на расстояниях, соответственно, x=a и x=(2a) от граней, касающихся термостата, в те (разные!) моменты времени, когда их температуры одинаковы. Одинаковыми будут при этом и разности температур ΔT между соответствующими гранями кубиков.
Количество тепла ΔQ, распространяющееся через кубик за счёт теплопроводности и частично остающееся в кубике, пропорционально площади грани кубика (Δx2 или 4Δx2), величине промежутка времени Δt и отношению ΔT к «толщине» кубика (Δx или 2Δx). Это тепло идёт на нагревание кубика, масса которого пропорциональна его объёму (Δx3 или 8Δx3), то есть на увеличение его температуры на величину δ T:

ΔQ ˜ Δx2 * Δt * ΔT / Δx * Δx3 * δ T

(уравнение записано для маленького кубика). Отсюда следует, что скорость изменения температуры δT=Δt ˜ Δx^(-2), то есть в большом кубике с размером ребра 2Δx она будет в 4 раза меньше, чем в маленьком, а характерное время прогревания большого куба (а с ним и время достижения температуры T2 в центре куба) будет в 4 раза больше, чем у малого куба.