Физобраз | Общее физическое образование

Рассмотрим случай, когда заряды располагаются в вершинах треугольника (см. рис. 3.6.1). Для этого рассмотрим какой-либо заряд, например, q1. Сумма сил, действующих на этот заряд, равна нулю (заряд неподвижен). Со стороны нити на этот заряд действуют две одинаковые по модулю силы натяжения T, направленные вдоль сторон
треугольника q2q1q3. Следовательно, равнодействующая этих сил направлена по биссектрисе угла q2q1q3. Тогда равнодействующая сил электростатического взаимодействия заряда q1 с зарядами q2 и q3 также должна быть направлена по биссектрисе этого угла, но в другую сторону. А поскольку эти силы также направлены вдоль сторон треугольника q2q1q3, то они должны быть равны по модулю между собой и каждая из них должна быть равна T. Обозначим через l1 расстояние между зарядами q2 и q3, через l2 — расстояние между зарядами q2 и q1, и через l3 — расстояние между зарядами q3 и q1. Учитывая сказанное выше, получаем:

Теперь, зная, например, расстояние l1 между зарядами q2 и q3, можно вычислить силу электростатического взаимодействия между ними. Эта сила, как мы уже выяснили, равна силе натяжения нити T:

Ответ формально получен. Но необходимо учесть, что в процессе решения все алгебраические преобразования были сделаны именно «формально». Мы нигде не учли, что длины сторон треугольника не могут быть произвольными, они обязательно связаны соотношениями («неравенство треугольника»):

Эти соотношения также можно переписать в виде:

Возникает вопрос: а что же случится, если эти условия окажутся невыполненными, и где допущена «ошибка» в приведённом выше формальном решении? Немного подумав, можно сообразить, что заряды могут располагаться не только в вершинах треугольника, но и вдоль прямой линии (см. рис. 3.6.2). На первый взгляд такие варианты расположения зарядов кажутся неустойчивыми. Но, оказывается, это не так. В самом деле, хотя бы одно устойчивое положение равновесие у системы должно быть! Но если соотношение между зарядами таково, что система вообще не может существовать в виде треугольника, то остаются только варианты расположения зарядов
«в линию», и хотя бы один из этих трёх вариантов обязательно должен быть устойчивым.
«Ошибку» же мы допустили, записывая соотношения (1). Первое из них представляет собой условие равновесия заряда q1 по двум различным направлениям (q1–q2 и q1–q3). А если же эти направления совпадают, то (1) не следует из предыдущих рассуждений и может оказаться неверным. Действительно, если не выполнено условие (2), то (1) также не выполняется, и дальнейшие формальные алгебраические преобразования в этом случае приводят к не имеющему физического смысла результату, в чём мы и убедились.
Найдём силу натяжения нити в случае расположения зарядов «в линию». Рассмотрим, например, случай, показанный в верхней части рисунка 3.6.2.

Из условия равновесия заряда q2 получаем:

Остальные два варианта рассматриваются полностью аналогично. Для полноты решения осталось рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия в различных вариантах расположения зарядов (в условии задачи это не требуется, участникам олимпиады предлагалось найти только силу натяжения нити).
Прежде всего покажем, что у рассмотренной в задаче системы не может быть двух и более положений устойчивого равновесия. Данная система имеет две степени свободы. В качестве таких степеней свободы (параметров или «координат» системы) можно выбрать, например, длины отрезков l1 и l2 (а l3 определяется условием l1 + l2 + l3 = l и поэтому самостоятельной степенью свободы не является). Если у системы есть более одного положения устойчивого равновесия, то на координатной плоскости (l1; l2) «вокруг» каждого из них должна быть своя «область притяжения» (область отклонений от равновесных значений l1 и l2, при которых система стремится восстановить эти равновесные значения — свои для каждой области). Понятно, что эти области должны отделяться друг от друга границами, все точки которых соответствуют неустойчивым положениям
равновесия, из которых система может «свалиться» в одну из «областей притяжения». Но в нашей системе количество возможных положений равновесия конечно: один «треугольник», если он существует, а также три варианта, показанные на рис. 3.6.2. Поэтому построить из них «границы» (линии на плоскости (l1; l2) ) не получится.
Значит, у нашей системы имеется ровно одно положение устойчивого равновесия. Очевидно, потенциальная энергия электростатического взаимодействия зарядов в этом положении будет минимальной по сравнению с другими возможными вариантами расположения зарядов в данной системе.
Далее отметим, что если конфигурация «треугольник» (рис 3.6.1) возможна, то она обязательно является устойчивой. В самом деле, в этом случае все три силы попарного взаимодействия между зарядами равны (как
это было выяснено на соответствующем этапе решения задачи). Для того, чтобы из этого «треугольника» получить какое-нибудь другое расположение зарядов, какие-то расстояния между зарядами придётся уменьшить (увеличив энергию системы), а какие-то расстояния между зарядами увеличатся (при этом энергия системы, наоборот, уменьшится). Суммарное изменение расстояний при этом будет нулевым, так как длина нити l не меняется. Но сила взаимодействия между зарядами убывает с расстоянием. Поэтому при уменьшении расстояния между зарядами увеличение энергии системы будет больше, чем уменьшение энергии в результате увеличения расстояния между другими зарядами. Следовательно, потенциальная энергия системы в равновесном положении «треугольник» минимальна по сравнению с любым другим расположением зарядов, поэтому этот «треугольник» и является положением устойчивого равновесия (если «треугольник» существует, то он является единственным,
так как длины его сторон l1, l2 и l3 однозначно определяются из решения).
Если соотношение зарядов q1, q2, q3 таково, что заряды не могут располагаться в вершинах треугольника, то понятно, что возможных положений равновесия всего 3 (рис. 3.6.2); одно из них — устойчивое, а два других
— неустойчивые. Устойчивой будет та конфигурация, в которой меньший заряд находится между б´ольшими (две другие комбинации зарядов не обладают минимальной потенциальной энергией — эту энергию можно уменьшить, меняя соответствующие заряды местами).