Физобраз | Общее физическое образование

Поскольку в условии сказано, что при колебаниях процесс повторяется, то потерями энергии можно пренебречь. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии: в крайних положениях, когда шарик останавливается, суммы его потенциальной энергии в поле силы тяжести и энергии электрического поля, имеющегося в системе, должны быть одинаковы.

Электрическое поле в пространстве справа от пластины, как нетрудно показать, совпадает с полем, которое создавалось бы в отсутствие пластины двумя зарядами: +q и −q, расположенными зеркально симметрично по отношению к поверхности пластины (такой подход к решению задачи называется «методом электростатических изображений»). Действительно, суммарный потенциал, создаваемый двумя такими зарядами в каждой точке плоскости симметрии системы, равен нулю, и таким образом, в эту плоскость можно поместить тонкую заземлённую пластину. Все силовые линии заряда +q при этом будут замыкаться на её правой поверхности, индуцированный заряд на которой, очевидно, будет равен −q. Если теперь удалить заряд −q, находящийся слева от пластины, и снять индуцированный заряд +q с левой поверхности пластины, то справа от неё поле не изменится, а поле слева исчезнет. Поэтому все точки пространства слева от тонкой пластины будут иметь одинаковый потенциал, и это пространство можно заполнить проводником, что не скажется на поле справа.
Поскольку поле справа от пластины совпадает с полем, создаваемым двумя точечными зарядами +q и −q, расположенными на соответствующем расстоянии r друг от друга, а слева от пластины поле отсутствует, то энергия электрического поля, имеющегося в нашей системе, равна половине электростатической энергии взаимодействия этих зарядов:

В начальном положении расстояние r равно (см. рис.) r_1 = 2 · (1,5 l + l sin α), а в конечном положении r_2 = l.
Отсчитывая потенциальную энергию в поле силы тяжести от начального положения шарика, запишем закон сохранения энергии:

Отсюда:

и