Силовые линии

Класс: 10, 8, 9

Давайте научимся строить линии напряжённости электрического и магнитного полей (в случае статического поля). Может быть, сама по себе эта работа и не так глубока. но зато мы получим отличный инструмент для исследования различных случаев распределения зарядов (или токов) и решения разных задачек. Начнём с электрического поля статического распределения зарядов.
Воспользуемся принципом суперпозиции и запишем поле в любой точке пространства, создаваемое системой зарядов q_i:

Теперь мы легко можем изобразить на плоскости вектор напряжённости электрического поля в точке (x, y) — это будет стрелочка, складывающаяся из E_x и E_y, которые легко определить по верхней формуле. Можно взять квадратную решётку и изобразить поле во всех её узлах. Но получившийся "ёж" не очень нагляден. Изобразим лучше классические линии. Для этого зададим шаг длины линии Δs и из произвольно взятой точки начнём строить ломаную по следующему правилу — на каждом шаге от последней точки ломаной мы откладываем отрезок длины Δs в направлении вектора электрического поля. То бишь координаты последней точки ломаной меняются так:

Продолжаем этот процесс, пока не упрёмся в существующий (отрицательный) заряд или не уйдём на бесконечность.
А чтобы плотность силовых линий отражала величину напряжённости, начальные точки будем выбирать на окружностях малого радиуса вокруг положительных зарядов, сделав количество этих точек прямо пропорциональным величине заряда.
Следующим логичным шагом является построение силовых линий для непрерывного распределения зарядов.

Линии магнитной индукции строить ещё интереснее, чем напряжённости электрического поля, так как даже для обычной петли с током рассчитать точное значение индукции в любой точке пространства отнюдь не так просто. Но разбив эту петлю на кусочки длины ΔL и воспользовавшись законом Био-Савара, можно по тому же алгоритму, что и в случае электрического поля (и непрерывного распределения заряда), построить линии магнитной индукции. Ясно, что если мы рисуем линии на плоскости, то лучше сначала рассматривать осесимметричные системы, например, комбинации из нескольких круговых петель. Интересно также, что линии, начинающиеся достаточно близко к проводнику с током, при таком методе построения не замыкаются — это прекрасный повод обсудить влияние шага дискретизации на точность моделирования.