Случайные блуждания

Класс: 10

Задача о случайных блужданиях была сформулирована Карлом Пирсоном в 1905 году. Если пьяный делает N шагов одинаковой длины в произвольных направлениях от фонарного толба, на каком расстоянии от столба он окажется?
Для начала можно рассмотреть одномерный вариант задачи. Во-первых, нас будет интересовать, с какой вероятностью P(x) пьяный окажется на расстоянии x от столба. Эта простая задача приводит нас к нормальному распределению и центральной предельной теореме.
Во-вторых, в одномерном случае можно изучить зависимость среднего времени перехода пьяницы из пункта А в пункт Б от расстояния между этими пунктами. (У этой задачи есть известная версия про "время разорения": пусть два человека, имеющие по N долларов каждый, играют в следующую игру. Бросают кость и по результвту броска один отдаёт другому один доллар. Как долго продлится игра?)
Затем можно изучить блуждания на двумерной решётке (квадратной или треугльной). Здесь интересно рассмотреть модель "решёточного газа": когда решётка заполнена частицами с некоторой концентрацией c (0 ≤ c ≤ 1) , и частица переходит в наугад выбранный соседний узел только в том случае, если этот узел не занят. Таким образом получается простая модель диффузии. Здесь отношение среднеквадратичного смещения за время t к этому времени и представляет собой коэффициент диффузии.
Кроме того, блуждания одной частицы по решётке с разными вероятностями переходов в разных направлениях моделируют, например, движение маленьких капелек воды в облаках.