Физобраз | Общее физическое образование

Выберем на оси цилиндров точку, расположенную вблизи их торца, и построим произвольно ориентированную коническую поверхность с вершиной в этой точке и малым телесным углом.

Если данная поверхность пересекает и положительно, и отрицательно заряженный цилиндр, то «вырезаемые» из них этой конической поверхностью заряды пропорциональны соответствующей поверхностной плотности зарядов на цилиндрах, квадратам расстояний до этих зарядов и некоторой одинаковой функции, зависящей только от параметров телесного угла. Указанные заряды создают в выбранной точке нулевое суммарное поле, поскольку оно пропорционально величинам этих зарядов и обратно пропорционально квадратам расстояний от зарядов до этой точки. Не скомпенсированными окажутся только участки положительно заряженного внутреннего цилиндра в форме кольца вблизи торца цилиндра, если точка наблюдения расположена внутри цилиндров (считаем, что при этом x > 0, то есть ось X направлена внутрь цилиндров, а начало отсчёта находится на их торце). Если же x < 0, то есть точка наблюдения находится вне цилиндров, то не скомпенсированными окажутся участки отрицательно заряженного внешнего цилиндра, также имеющие форму кольца (см. рис. 3.9). Заметим, что другой торец цилиндров согласно условию задачи находится очень далеко, и полем от него можно пренебречь.
Поле кольца радиусом R, имеющего равномерно распределённый по длине заряд Q, на оси кольца на расстоянии x от его плоскости направлено вдоль оси и равно, как нетрудно видеть,

Ширина положительно заряженного кольца (при x > 0) равна, как видно из рисунка, r/R * x, а ширина отрицательно заряженного кольца (при x < 0) равна r / (R - r) * (-x) ≈ r/R* (-x),
поскольку r « R. Заряды колец равны, соответственно,

Заметим, что отрицательный знак Q- при такой записи получается автоматически, за счёт того, что в данном случае x < 0. Объединяя оба выражения для любых значений x, можно записать: Q ≈ 2 π σ * rx.
Подставляя это значение Q в выражение для напряжённости поля заряженного кольца, получаем для проекции вектора напряжённости электрического поля на ось X вблизи торца цилиндров: