102033 - Заряженный тетраэдр - Решение

Пусть SABC — правильная пирамида, образованная пересечением четырёх бесконечных заряженных плоскостей, SH — её высота, SD — высота боковой грани CSB (см. рис. 3.17.1). Поле, создаваемое каждой плоскостью, однородно, направлено по нормали к данной плоскости и по модулю равно E = σ / 2ε0: Так как пирамида правильная, то внутри пирамиды сумма проекций всех четырёх векторов напряжённости на плоскость основания ABC равна нулю, а сумма проекций векторов
напряжённости на высоту пирамиды SH равна Ex = E - 3E sin . Здесь — угол между высотой пирамиды SH и высотой любой из боковых граней пирамиды, ось X направлена вдоль SH.


На рисунке 3.17.2 показан треугольник ASD, полученный в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AS и высоту SD противолежащей ему боковой грани. Вектор ~E показывает напряжённость поля, создаваемого плоскостью, в которой лежит грань BCS, точка O определяет положение заряда q. Аналогичный рисунок можно нарисовать для каждой из трёх боковых граней пирамиды. Из геометрических соображений следует, что


то есть


Значит, в зависимости от соотношения между стороной основания a и боковым ребром b, возможны три случая:
а) Ex > 0 — реализуется при √3a <√ 4b2 - a2, откуда следует условие b > a. В этом случае шарик после того, как его отпустят, ударится о плоскость основания пирамиды. Так как поле однородно, то на шарик после его отпускания действует постоянная сила Fx = qEx. Из закона сохранения энергии получаем: mv2/ 2 = Fxh = qExh, откуда

б) Ex = 0 — реализуется при a = b. В этом случае поле внутри пирамиды отсутствует, и шарик не будет двигаться, то есть v = 0.
в) Ex < 0 — реализуется при √3a > √4b2 - a2, откуда следует условие b < a. В этом случае шарик ударится о вершину пирамиды и закон сохранения энергии можно записать в виде: mv2/2 = -qEx(SH - h)