Физобраз | Общее физическое образование

Класс: 10, 11, 9

Оказывается, можно получить такой же хаотичный и замысловатый узор, как и образуемый молнией, на очень простой (хотя и не тривиальной) модели.
Молния (пробой диэлектрческого слоя воздуха) обычно происходит в неоднородной среде из-за различий в плотности, влажности и проводимости воздуха, поэтому попробуем построить модель распространения канала с нулевым сопротивлением в неоднородном диэлектрике.
Для этого возьмём окружность достаточно большого радиуса и присвоим её центру потенциал φ=0, а самой окружности — &phi:=1; после чего методом релаксации (см. примечание) вычислим потенциалы всех узлов внутри окружности. Каждому узлу внутри окружности припишем случайное число r, большее нуля и меньшее единицы. Эти числа представляют собой неоднородную структуру диэлектрика.
Затем повторяем следующую процедуру, пока не достигнем границы круга:

• выбираем ближайшие (соседние) к узору разряда узлы и вычисляем для них следующее выражение (произведение числа r на степень градиента потенциала, где α — регулируемый параметр)
  
• узел периметра, в котором это произведение максимально, пробивается, то есть его потенциал полагается равным нулю;
• используя метод релаксации, пересчитываем потенциалы всех узлов.

Для начала можно положить α=1/4 и посмотреть, какая структура разряда получится.
Затем можно исследовать, как зависит получающаяся структура от значения параметра α и от структуры решётки (например, что получится в трёхмерном случае). Если учащимся знакомо понятие фрактальной размерности, можно показать, как изменяется размерность получающихся разрядов.

Примечание. Метод релаксаций.
В нашем простом случае метод релаксации сводится к вычислению для каждого узла среднего арифметического по соседям и подстановке этого среднего арифметического в данный узел. Подробно, например, здесь.