Физобраз | Общее физическое образование

Класс: 10, 11, 9

Очень полезная для любознательных школьников работа.
Как сказал когда-то эколог Роберт Мэй, "Не только в науке, но и в повседневной политической и экономической жизни мы делали бы меньше ошибок, если бы большинство людей осознало тот факт, что простые нелинейные системы необязательно обладают простыми динамическими свойствами".
Мы будем анализировать одно-единственное разностное уравнение

где x и r не меньше нуля и не больше единицы.
Это уравнение появилось как простейшая модель биологической популяции, но можно придумать и физическую задачку, которая к нему приведёт.
Положим x нулевой равным 0.75 и посчитаем первые несколько его значений при различных r:
 r=0.1      r=0.6      r=0.8      r=0.9
0.750000   0.750000   0.750000   0.750000
0.075000   0.450000   0.600000   0.675000
0.027750   0.594000   0.768000   0.789750
0.010792   0.578794   0.570163   0.597762
0.004270   0.585100   0.784247   0.865593
0.001701   0.582619   0.541452   0.418829
0.000679   0.583618   0.794502   0.876281
0.000271   0.583219   0.522460   0.390286
0.000109   0.583379   0.798386   0.856667
0.000043   0.583515   0.515091   0.442040
0.000017   0.583341   0.799271   0.887906
0.000007   0.583330   0.513398   0.358303
0.000003   0.583334   0.799426   0.827719
0.000001   0.583333   0.513102   0.513360
0.000000   0.583334   0.799451   0.899357
0.000000   0.583333   0.513054   0.325849
0.000000   0.583333   0.799455   0.790817

Легко заметить, что поведение системы меняется принципиально!
Изучая зависимость вида последовательности от значения параметра r, можно получить представление о периодическом режиме, о хаотическом режиме и о точках бифуркации.
Зафиксировав r и рассмотрев зависимость поведения системы от начального значения x, можно понять, что такое устойчивые и неустойчивые неподвижные точки.
Для экспериментального исследования хаотического поведения можно поставить классический опыт с протекающим краном. Он заключается в подсчёте количества капель воды, падающих в единицу времени из неплотно закрытого крана. Этому явлению посвящено большое число научных работ, и выбор глубины изучения проблемы зависит только от желания учащегося.